La successione di Fibonacci e la spirale aurea: quando l'universo diventa armonia
Spesso siamo talmente impegnati nelle frenetiche faccende quotidiane da non renderci conto dell’ambiente che ci circonda, di quanto la natura, pur nella sua semplicità, sia armonica e simmetrica in ogni suo aspetto. Per comprenderla pienamente l’uomo necessita degli strumenti adatti: citando Galileo Galilei, “La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara ad intender la lingua, e conoscere i caratteri, ne’quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi veramente per un oscuro labirinto” (da Il Saggiatore).
Il primo strumento di cui abbiamo bisogno è la nota successione di Fibonacci, introdotta per la prima volta da Leonardo da Pisa (meglio noto come Fibonacci poiché filius Bonacci, il figlio di Bonaccio) come soluzione alla modellizzazione matematica della crescita di una popolazione di conigli in n mesi, ipotizzando che ogni coppia di conigli impieghi un mese per diventare adulta e un secondo mese per procreare un’altra coppia.
La successione di Fibonacci è una successione ricorsiva lineare e omogenea, definita nel modo seguente:
$$\mbox{C}_{0}=0\huge$$, $$\mbox{C}_{1}=1\huge$$, $$\mbox{C}_{n}=\mbox{C}_{n-1}+\mbox{C}_{n-2}\huge$$
Ogni termine è quindi somma dei due termini che lo precedono: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...
Il secondo strumento essenziale è la cosiddetta spirale logaritmica. Quest’ultima è una figura geometrica ottenuta, come scoprì per la prima volta Cartesio, considerando la traiettoria di un punto che si muove di moto uniformemente accelerato su una semiretta, la quale ruota uniformemente intorno alla sua origine:
Matematicamente essa si può esprimere in coordinate polari nel seguente modo:
$$f\left(\theta\right)=r=ab^{\theta}\huge$$
dove a modifica le dimensioni della spirale, mentre b ne indica la direzione di avvolgimento.
A questo punto è interessante chiedersi: “C’è qualcosa che accomuna la mirabile disposizione dei petali di una rosa, l’armoniosa spirale di alcune conchiglie, l’allevamento di conigli e la successione di Fibonacci?” (Mario Livio, La sezione aurea). La risposta è ovviamente affermativa: “Dietro queste realtà così disparate si nasconde sempre lo stesso numero irrazionale comunemente indicato con la lettera greca φ.. Una proporzione scoperta dai pitagorici e calcolata da Euclide chiamata da un trattato di Luca Pacioli divina proporzione e in seguito sezione aurea” (Mario Livio, ibidem).
Il numero φ, detto numero aureo, è definito come il rapporto ra due grandezze disuguali la cui somma è media proporzionale tra la minore e la loro somma:
( a + b ) : a = a : b
Tale rapporto vale approssimativamente 1,618 ma può essere espresso in maniera esatta con la seguente formula:
$$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\huge=1,618033989$$
Ora, una spirale logaritmica in cui il rapporto costante tra i raggi consecutivi è pari a φ si dice aurea; il rapporto fra un numero della successione di Fibonacci e il suo precedente è, al limite, (per n che tende ad infinito) pari a φ.
Il rapporto aureo è quindi l’anello di congiunzione tra la natura e la matematica, il punto di incontro tra la suprema armonia del cosmo e il modello che lo rappresenta.
“La natura ama le spirali logaritmiche: dai girasoli alle conchiglie, dai vortici agli uragani alle immense spirali galattiche, sembra che la natura abbia scelto quest’armoniosa figura come proprio ornamento favorito”
Mario Livio
Ed è proprio su questo “ornamento” che verte l’argomento principale del nostro articolo: le spirali auree e la successione di Fibonacci si riscontrano in un’enorme varietà di fenomeni naturali.
Come si può notare dalla breve sequenza di immagini sopra riportate, la spirale aurea e la successione di Fibonacci evidenziano come lo sviluppo armonico della forma è legato alla necessità degli esseri viventi di accrescere “secondo natura” nella maniera migliore e meno dispendiosa possibile.
“La matematica si può considerare come ciò che unisce e si interpone fra l’Uomo e la Natura, fra il mondo esterno e quello interno, fra il pensiero e la percezione”
F. W. August Fröbel
Conoscete altri stupefacenti elementi naturali dove è presente, in maniera più o meno evidente, questo magico numero? Faccelo sapere nei commenti Billy!
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