Effetto Zenone: storia di un paradosso

Zenone di Elea è una di quelle personalità che prima o poi ti si pareranno davanti in uno studio liceale di qualsiasi genere. Lo ricordiamo come un filosofo della Magna Grecia, con l’accezione più antica e pura del termine: un uomo la cui conoscenza abbracciava tutti i campi dello scibile umano.

Tutto, o quasi, quello che sappiamo su questo strano personaggio ci è arrivato grazie agli scritti di Platone, proprio come per il suo amico Socrate. Platone era la Wikipedia della Grecia insomma.

Noi lo ricordiamo soprattutto per i suoi paradossi, che attraverso logica e dialettica volevano mostrare l’impossibilità del moto:

il fine è quello di dimostrare che accettare la presenza del movimento nella realtà implica contraddizioni logiche ed è meglio quindi, da un punto di vista puramente razionale, rifiutare l'esperienza sensibile ed affermare che la realtà è immobile.

Il paradosso della freccia

I paradossi sono quattro, ma noi ci focalizziamo su di uno, altrimenti ti addormenti e poi sbatti la testa sul computer e poi emorragia interna e poi è un casino. In sintesi, l’argomentazione è quella che segue: potendo dividere il volo di una freccia in un’infinità di istanti successivi, possiamo affermare che in ogni istante la freccia occupa una porzione di spazio definita. Se questo è vero, in ogni istante la freccia è ferma. Ma se in ogni istante la freccia è ferma allora è immobile lungo tutto il percorso.

Hai il diritto di sentirti confuso, stuprato e inutile, il paradosso ha dato filo da torcere a filosofi, matematici e fisici fino all’introduzione del calcolo infinitesimale: noi adesso conosciamo e sappiamo definire la velocità istantanea, abbiamo derivate , limiti e tutto sembra naturale. Non era così nel V secolo a.c (grazie Newton <3)((In realtà non lo è tutt'ora, ci sono tutta una serie di problemi "analitici" : se l'argomento ti intriga consiglio la lettura di I paradossi di Zenone, di Vincenzo Fano)).

Torniamo a noi.

L’obiettivo dei paradossi non era quello di confutare il moto di per sé, ma quello di mettere in chiaro che la matematica sviluppata fino ad allora non “bastava” a dipingere il mondo naturale. In altre parole, Zenone non era un coglione: sapeva benissimo che la freccia lo avrebbe trafitto se lui si fosse posto nella sua traiettoria, ma era al contempo consapevole che la fisica (e la matematica) del suo tempo non avevano ancora sviluppato gli strumenti adatti ad una sua descrizione.

Divago un attimo, lo sproloquio che segue può essere saltato senza inficiare la comprensione dell'articolo.

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Spesso non ci rendiamo conto della grandezza delle teorie, della quantità di esperimenti, delle geniali intuizioni e della determinazione unica delle milioni di persone che ci hanno preceduto, di tutto quell'impegno che l'umanità ha profuso nel tempo per confezionare una serie di lettere e numeri che, ben interpretate, descrivono la natura. Nascere alla fine degli anni 90 di sicuro non ha aiutato: fisica classica, meccanica quantistica e relatività sono già enormemente sviluppate. C'è la possibilità di descrivere fenomeni che venti anni fa erano un mistero, abbiamo computer che permettono di fare simulazioni in ore che prima sarebbero durate mesi. Eppure ci sono ancora una infinità di cose che non sappiamo, che riusciamo ad osservare ma non riusciamo ancora a descrivere. La differenza fondamentale con Zenone è che adesso queste "misteri" non fanno più parte dell'ordinario (quelli si sono esauriti), ci sono spostati su argomenti molto più difficili e quindi di nicchia. Ma vanno risolti, l'impegno della collettività scientifica rimane sempre vivo: vorresti giocare ad un gioco senza conoscerne le regole? Non sarebbe così divertente.

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Ma nel titolo hai scritto meccanica quantistica, sei uno sporco lestofante.

Le belle signore si fanno attendere Billy, dovresti saperlo.

L’effetto Zenone quantistico

Il mondo dei quanti è un mondo molto strano, ne abbiamo parlato più volte in più occasioni. Non voglio quindi cantarti di nuovo tutta la canzone (che puoi trovare qui), diciamo che ti leggo solo il ritornello: andando ad osservare il comportamento di oggetti nella scala delle dimensioni di un atomo (o meno) le leggi della fisica classica non funzionano più. In particolare, ed è quello che ci interessa per questo articolo, tutta la capacità deterministica della fisica (se vale A, allora sicuramente ne consegue B) crolla inesorabilmente sotto il peso della maledetta funzione d’onda di Schrodinger: tutte le variabili della fisica diventano probabilistiche, niente è più certo ed assolutamente definito; sparo un fotone e questo può passare per due fenditure contemporaneamente, lancio una particella contro un muro e questa può attraversarlo ecc…

Ogni particella è descritta da una funzione((Per completezza, questa funzione di probabilità è il modulo quadro della funzione d'onda di Schrodinger.)) che mi dice la probabilità che questa si trovi in un determinato punto dello spazio in un determinato istante di tempo (20% di probabilità che si trovi in A, 30% che si trovi in B ecc…).

Ma noi vogliamo la magia: misuriamo il sistema. Osserviamo il sistema. La funzione di probabilità collassa, non ci sono più dubbi che la particella si trovi in A, B, C o in qualsiasi altro punto dell’alfabeto. E’ hic et nunc, la probabilità è 1 in questo punto dello spazio-tempo e fine della questione.

Siamo soddisfatti, ci andiamo a prendere una birra. La funzione di probabilità ci aspetta tutta bella collassata? Ni.

Se abbiamo osservato il sistema nella configurazione ad energia minore allora bene, possiamo bercene anche tre di birre: se non ci sono fattori esterni a disturbare il sistema questo non ha nessun modo per “evolvere” e rimanere in “quiete”.

Ma se, scattandogli la foto, abbiamo beccato lo stronzetto in flagrante mentre era tutto bello eccitato (energeticamente, ovviamente), allora la funzione collassata tenderà rapidamente a ingrassare (come quando da fuori sede torno a Natale e Pasqua a casa e mi fanno mangiare talmente tante cose che se fossi in America  avrei paura di essere messo all’ingrasso per essere usato come tacchino ripieno alla festa del Ringraziamento che non so neanche che giorno sia mamma mia sto divagando senza neanche una punteggiatura ma che ci vuoi fare Billy i flussi di coscienza sono così grazie Joice tvb).

Tutto molto bello, ma Zenone?

Zenone di meccanica quantistica non sapeva nulla, ahimè nel 1900 era impegnato ad essere decomposto e ingurgitato da batteri e vermi probabilmente. De gustibus non disputandum est, no?

La conoscevano però Misra e Sudarshan, che nel 1977 propongono l’effetto di Zenone quantistico. L’idea è semplice, geniale e quasi fantascientifica e per spiegarla ricorrerò ad un esempio macroscopico che spero renda l’idea.

Proclamo il copyright su questo esempio perché lo sto inventando sul momento.
Immagina di trovarti seduto, con dei tappi per le orecchie, in una stanza totalmente buia assieme al tuo amico, quello un po’ scemo che però dai alla fine è buono. Però è proprio scemo, esatto lui! _____ è libero di fare quello che vuole nella stanza, tu hai in mano un flash di quelli delle macchine fotografiche: premi il pulsante e questo illumina per mezzo secondo la stanza.

Nel buio, _____ può essere descritto da una funzione di probabilità che ci pesa tutto quello che potrebbe stare facendo.

Premi il pulsante: _____ è a mezzaria, evidentemente ha appena fatto un salto. La funzione di probabilità collassa: al 100% Alberto sta saltando, l’hai appena misurato. Senza essere Alberto Ainstain capisci che questa però non è una situazione energeticamente favorevole: in poco tempo la funzione di probabilità tornerà ad essere quella di prima con _____ a fare una qualsiasi cosa nella stanza, perché di certo non può rimanere a mezz’aria.

Mmmh.

Tecnicamente (ed è qui la magia), riuscendo ad effettuare delle misure ad una velocità maggiore di quella dello “sbrodolamento” della funzione di probabilità, siamo in grado di mantenere un qualsiasi stato eccitato per un tempo indefinito. Quindi, al costo farci venire la tendinite, se il tuo amico fosse una particella subatomica potresti immobilizzarlo a mezzaria per il resto della sua vita (e della tua, perché è la tua misura che perturba il sistema, ma questo e altro per gli amici).

Hai capito perché il nome di Zenone è stato scomodato per battezzare questo effetto? Il succo è sempre quello: se vediamo un fotogramma alla volta (ne abbiamo tanti tanti tanti) non ci accorgiamo del moto, tutto sembra immobile.

Un poco come quando aspetti i voti dell’esame e premi il pulsante per riaggiornare la pagina talmente tanto spesso che il tuo mouse spera di essere mangiato dal tuo gatto: in realtà la colpa è tua, stai facendo collassare la funzione d’onda((Ma qualcuno l'ha osservato davvero? LINK)).

Un poco di matematica

Metto giù due formule, giusto per completezza, per mostrare che tutto questo "assurdo" discorso è innanzitutto teoricamente possibile. Immaginiamo un sistema a due livelli (quindi uno di quiete e uno eccitato): in generale, se uno stato eccitato ha un tempo di vita τ, la probabilità che questo transisca allo stato fondamentale sarà (distribuzione di Poisson)

[latex size="3"]P_{2\rightarrow1}=\frac{t}{\tau}[/latex]

La probabilità quindi che dopo un tempo t la particella si trovi ancora nello stato eccitato sarà

[latex size="3"]P_{2}(t)=1-\frac{t}{\tau}[/latex]

Se quindi facciamo una misura dopo t e troviamo la particella nello stato eccitato, la funzione d’onda collassa e se misuriamo ancora dopo un altro tempo t troviamo che

[latex size="3"]P_{2}(t+t)=\left(1-\frac{t}{\tau}\right)^{2}\thickapprox1-\frac{2t}{\tau}[/latex]

Che in prima approssimazione è lo stesso che avremmo ottenuto misurando direttamente la probabilità dopo 2t di tempo (invece di effettuare la doppia misura)

[latex size="3"]P_{2}(2t)=1-\frac{2t}{\tau}[/latex]

Osserviamo quindi che misurare due volte o misurare dopo il doppio del tempo non influisce sull'esito della misura. Per regimi temporali estremamente brevi però l’evoluzione temporale degli stati eccitati cambia, e l’andamento è quadratico nel tempo:

[latex size="3"]P_{2\rightarrow1}(t)=\frac{t^{2}}{\tau}[/latex]

In questo regime, fare due misure consecutive o una misura unica dopo un intervallo di tempo doppio non è più la stessa cosa, infatti

[latex size="3"]P_{2}(t+t)=\left(1-\frac{t^{2}}{\tau'}\right)^{2}\thickapprox1-2\frac{t^{2}}{\tau'}[/latex]

che è diversa da

[latex size="3"]P_{2}(2t)=1-\frac{\left(2t\right)^{2}}{\tau'}=1-4\frac{t^{2}}{\tau'}[/latex]

La probabilità di trovarsi nello stato eccitato dopo due misure consecutive è maggiore! Se immagino ora di misurare n volte in un intervallo di tempo T (ogni t=T/n quindi) ottengo che la probabilità di trovarmi nello stato eccitato sarà

[latex size="3"]\left(1-\frac{1}{\tau'}\left(\frac{T}{n}\right)^{2}\right)^{n}\thickapprox1-\frac{1}{\tau'}\frac{T^{2}}{n}[/latex]

che nel limite in cui n tenda all’infinito (misure infinite) porta la probabilità ad uno: il sistema eccitato non decade mai!((Tutta questa trattazione e largamente ripresa da “Introduction to quantum mechanics” del buon Griffiths, a lui i crediti))