Il paradosso di Olbers

Dopo l'articolo di Giulia dovresti aver capito perché il cielo è blu e non marrone. Per fortuna, sai che tempo di merda.

Visto che si parla di colori fondamentali dell'universo, almeno una volta nella tua misera vita ti sarà balenato il dubbio del perché la notte il cielo è nero.

Se non ti sei mai posto questa domanda non me lo dire, facciamo finta di niente altrimenti roviniamo un'amicizia, OK?!

Ad ogni modo la risposta più ovvia e superficiale è quella di dire che se il sole è "coperto" non c'è luce che illumina il cielo, quindi vediamo il fatidico nero.

Come ho anticipato, questa risposta è superficiale, perché esistono le stelle. Un sacco di stelle.

Affrontiamo quindi il problema storicamente, mettendoci nei panni dei Billy di quattro secoli fa. Questo problema infatti è stato trattato da Keplero nel 1610, dagli astronomi Halley e Cheseaux nel diciottesimo secolo ed infine formalizzato dall’astronomo tedesco Heinrich Wilhelm Olbers.

Il paradosso

Le conoscenze cosmologiche di quel periodo si basavano su tre assunti fondamentali:

• L’universo è infinito
• L’universo esiste da tempo infinito
• L’universo è omogeneo e isotropo, quindi le stelle sono distribuite in modo uniforme nello spazio

Vediamo come nasce il paradosso. Se anche ti raccontassi che le stelle dell'universo sono infinite, potresti facilmente obiettare che la luminosità di quelle più lontane è minore di quella delle più vicine, quindi allontanandosi la luce che vediamo diminuisce sempre di più, quindi in realtà il cielo notturno è illuminato molto limitatamente, quindi appare nero con macchie di luce.

Sbagliato. Vediamo il perchè.

Sul lato sinistro del ring abbiamo la legge di Labert che insegna che l' "illuminamento" (definito come il rapporto tra flusso luminoso e superficie dell'oggetto illuminato, in questo caso il tuo occhio  Billy) descresce quadraticamente con la distanza tra la sorgente e l'oggetto illuminato. Per semplicità penseremo l'illuminamento come l'intensità luminosa, per cui avremo:

[latex size="3"]I(r)=\frac{I(0)}{r^{2}}[/latex]

Questa formula dovrebbe rassicurarti molto Billy: per le stelle lontante (con un r grande quindi) il contributo diventa così piccolo (avremmo un numero diviso per un numero sempre più grande, elevato al quadrato per di più) che può essere trascurato, per cui possiamo pensare di ricevere la luce solo da una frazione limitata di stelle, che evidentemente non riesce ad illuminare tutto il "cielo", lasciandolo in un triste nero pece.

Sul lato destro del ring però abbiamo uno sfidante, la nostra ipotesi di universo omogeneo e isotropo: la conseguenza fondamentale è che su ogni sfera concentrica che immaginiamo di tracciare attorno alla Terra le stelle sono presenti con una densità superficiale costante (che indicheremo con D), per cui il numero totale di stelle, per ogni sfera di raggio r, sarà:

[latex size="3"]N(r)=D\cdotp S_{sfera}=D\cdotp4\pi r^{2}[/latex]

Per calcolare quindi l'intesità totale di luce che osserviamo da ogni sfera di raggio r dobbiamo tener conto di tutte le stelle presenti sulla suddetta sfera. L'intensità totale per ogni r quindi diventa:

[latex size="3"]I_{tot}(r)=I(r)\cdotp N(r)=\frac{I(0)}{r^{2}}D\cdotp4\pi r^{2}=I(0)\cdotp D\cdotp4\pi[/latex]

Come avrai capito, la dipendenza dal raggio della sfera, è sparita, mostrando in particolare come l'intensità luminosa della sfera sia una costante che non dipende in alcun modo dalla distanza!

Se ora contiamo di sommare le infinite calotte che possiamo tracciare a qualsiasi distanza r (abbiamo infatti presupposto un universo infinito) l'intensità luminosa diventa addirittura infinita!

Signori e signori, il paradosso di Olberns.

Tipica reazione al paradosso di Olberns.

La soluzione

L'esperienza comune è evidentemente in contrasto con questo discorso teorico e poiché non ci sono errori nei passaggi matematici, il problema deve trovarsi a monte: le ipotesi di partenza sono sbagliate.

Nel corso dei secoli sono state proposte diverse soluzioni, da nubi di polvere che fungevano da spugne per la luce a ipotesi in cui essendo l'universo limitato e la terra al centro di esso, tra le stelle intravedessimo lo sfondo nero del limite ultimo di esso. Ipotesi quantomeno originali.

Per risolvere questo paradosso abbiamo dovuto aspettare il 1929: Hubble e Humason scoprono la legge sperimentale del redshift: l'universo si sta espandendo. Senza entrare nei dettagli di questa legge, ricorriamo ad un esempio: la sirena dell'ambulanza. Ti sarai sicuramente accorto che il suono della sirena diventa sempre più fastidioso quando questa ti viene incontro mentre sfuma "dolcemente" quando essa si allontana. Questo perché quando la sorgente si avvicina all'osservatore i fronti d'onda si avvicinano tra loro provocando un aumento di frequenza dell'onda, quando si allontanano invece accade il contrario (l'effetto Doppler).

Con le galassie avviene esattamente lo stesso: confrontando i dati della luminosità di galassie vicine rispetto a quelle più lontane, le ultime presentano frequenze minori, per cui possiamo dedurre che queste di stanno spostando.

Ora arriva il bello: se l'universo si sta evolvendo, nel nostro caso espandendo, allora deve aver avuto un'origine (qualcuno/qualcosa deve aver almeno inizialmente accelerato il sistema, altrimenti per il principio di inerzia tutto rimanerrebbe in stasi): il Bing Bang.

Ipotesi falsa individuata ed abbattuta: l'universo non esiste da tempo infinito.

E quindi?

E quindi Billy devi ricordarti che la luce corre come una bestia, ma la sua velocità non è comunque infinita. Se ci aggiungi che l'universo poi ha l'età di circa 15 miliardi anni come dicono gli ultimi studi, allora capirai che la luce di stelle che si trovano ad oltre 15 miliardi di anni luce non è ancora giunta ai nostri occhi, quindi effettivamente queste non contribuiscono ad "illuminare la notte".

Inoltre lo spostamento verso il rosso ci dice che la frequenza della radiazione di queste stelle tende a diminuire al loro allontanarsi: se la frequenza diminuisce troppo la radiazione "esce" dallo spettro visibile, passando agli infrarossi o alle onde radio (et similia), scomparendo comunque ai nostri occhi così limitati.

Anche stanotte puoi dormire tranquillo Billy, al buio nessuno vedrà quanto sei stupido.