Numeri: quando le dimensioni contano

Avete mai pensato ad un numero grande? Oppure a cosa significa che i numeri siano infiniti?

Momento riflessione.

Mentre tu, villico Billy, pensi alla risposta io, che non ho tempo da perdere, cercherò di mostrarti quali sono i numeri più grandi concepiti dall’uomo e di farti rendere conto che in confronto a quell’otto rovesciato che tutti vi tatuate sono una nullità!

Partiamo dal più piccolo: il googol.

Nome che lo ricorda forse per le innumerevoli oooooooo che appaiono durante le ricerche, equivale a 10^100 ed è un numero relativamente facile da scrivere: se ci mettessimo con pazienza potremmo scrivere un 1 (mi diverte pensare a come vi ingarbugliate con la lingua, lo ammetto) seguito da 100 zeri.

Non ha un particolare significato fisico, ma può essere usato per fare paragoni con altre quantità, per esempio gli atomi nell’universo osservabile (10^80 circa. Se come me pensavate fossero pochi, provare a fare un attimo un conto sapendo che un miliardo è un 10^9).

Momento incredulità.

Ora, se eleviamo un 10 alla googol cosa otteniamo? Un googolplex! E non stiamo parlando della band di Google (livelli tristissimi di battute).

Ecco il secondo numero: un 1 seguito da un googol di zeri, tanto grande che non potrebbe essere scritto per esteso neanche se tutta la materia esistente fosse convertita in inchiostro (basti pensare che come visto sopra, ha più zeri di quanti siano gli atomi nell’universo!).

Ok Billy, se ora ti stai controllando nelle mutandine per cercare un confronto/conforto lascia stare, perchè ora arriva il bello.

Momento inquietudine e suspance

Abbiamo visto due numeri che per quanto grandi possono essere scritti “comodamente” in forma esponenziale. Gli ultimi due invece hanno bisogno addirittura di una nuova scrittura. Questo tipo di rappresentazione prende il nome di notazione Steinhaus–Moser e semplifica la scrittura di numeri enormi come quelli che stiamo trattando, procedendo per una rappresentazione grafica dell'operazione.

Nel primo caso il triangolo rappresenta un numero elevato a se stesso. Gli altri casi si possono leggere dall'immagine (presa da Wikipedia).

Il megistone quindi, nostro nuovo amico, si basa su questa notazione e viene rappresentato da un triangolo. No scherzo, troppo piccolo.

Un quadrato? Ancora troppo stretto.

Un cerchio? Bhe, si. Per renderci contro di cosa stiamo parlando, con questo simbolo ⑩ stiamo dicendo che eleviamo 1000 volte 10 alla 10 elevato a 10 alla 10 per 10 alla 10 volte. E sicuramente ci ho lasciato molti dieci.

Ora capite la gigantaggine del Megistone? Riuscite a rendervi conto di cosa rappresenta?

Momento consapevolezza di essere nullità

No? Allora Billy sappi che in realtà è una briciola se confrontato con il “numero uno”, il più grande mai concepito (l'unico che tra l'altro ha anche un interesse matematico particolare): il numero di Graham!

Ora mi potresti chiedere come è possibile anche solo immaginare un numero ancora più grande. Ed hai ragione. Quindi ti lascio il quesito del problema che ha partorito questo abominio, e senza commenti (non saranno necessari, credimi) mi dileguerò nell'aria lasciandoti i link per approfondire la questione.

Immaginati una sera estiva a Milano. Ci sono 450 gradi Kelvin fuori, tutto sudato ti svegli nella notte ed alta voce ti chiedi:

Se considero un ipercubo di n dimensioni e ne unisco tutti vertici allora ottenendo un grafo completo con vertici. Se poi coloro quindi tutti gli spigoli con i colori rosso o blu (a piacere), qual è il valore più basso di n per cui ogni possibile colorazione deve necessariamente contenere almeno un sub-grafo monocromo completo con 4 vertici giacenti su un piano?